【特別公開】受講生の質問メールと回答メール~数学編・数列の一般項の理解~

このような理解を重ねれば数学は必然的に得意科目になります

今回は数学についてのWEB個別指導受講生の質問メールとそれに対する東大理二「首席」合格講師大久保の回答を取り上げます。

みなさんもこのような理解を日々の勉強で得ていけているか、わからないん部分をこのような理解を伴って解決していけているかを確認するためにも是非回答は読んでくださいね。

このような理解を蓄積していければ数学は必然的に得意科目になります。

 

科目・質問数無制限で質問回答が得られる圧倒的充実指導・実力指導の正体

みなさんはやる気の問題や勉強効率の問題に悩まされたり、塾や予備校で一般的な問題解説講義を受けても自分のわからないところを解決できない、深く理解できない、ということを感じたことはありませんか?
これは多くの受験生が悩まされたり感じていることです。

でも、

■やる気や勉強効率を大きく阻害する「わからない」「できない」ところを日々解決していけるとしたら
■自分のわからない部分を丁寧に深く理解していけるとしたら
しかもそれが他の問題にも通用する思考を伴った説明・解説とともに
■入試に必要なレベルで過不足なく得ていけるとしたら、
■大学入試においてはここまで理解していれば大丈夫ですという明確な区切りとともに得ていけたら

あなたがやる気の問題に悩まされることは極限まで減ります。
→なぜなら受験勉強のやる気を阻害する最も大きな要因は「わからない」「できない」からです。この点は「やる気のカラクリ」を併せてご覧ください。

あなたが勉強効率に悩まされることはなくなります。
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この本当の効果や威力を体感してください。

特別に当塾のネット塾(WEB個別指導)受講生の質問と当塾講師の回答を受講生の許可をいただいて掲載していきます。

当塾の受講生は皆さんへのご提供を快く承諾してくれました。「一丸となって合格へ向かう」TEAM叡智の真髄です。是非ご覧ください。

 

WEB個別指導受講生(高校2年生)の質問メール

{an},{bn}の一般項をそれぞれan=2^n, bn=3n+2とする。{an}の項のうち、{bn}の項を小さい方が順に並べて得られる数列{cn}の一般項を求めよ。
という問題で、模範解答が途中からわからなくなりました(実際にはより具体的にその箇所が指摘されています)。

 

東大理二『首席』合格講師大久保(東大医学部医学科)
の回答メール

2つの数列 an = 2^n bn = 3n+2
のうち、一致している項のみを取り出すと一般項はどう書けるかという問題です。

この場合は、まずanの何項目とbnの何項目が一致しているかを調べる必要があります。それがわかれば、あとはそれをanかbnのどちらかの式に代入すればcnが求まります。

よって、今anのl項目がbnのm項目に等しいとしてlとmの関係を求めます。
al = bmですから、
2^l = 3m+2です。
さて、これをこのまま解こうとすると左辺は指数関数、右辺は1次式で解くのが難しいです。そこで、直接求めるのが難しい場合は実際の数から予想してから方針を立てるという鉄則に従いましょう。

少しanとbnの項を書き出してみましょう。
an = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
bn =5,8,11,14,17,20,23…,32…

よって、かなり雑ではありますが、8,32が一致してますのでもしかしたらanの項が1個おきに一致しているのではと思います。そこで、実際に128も一致しているかをみると、
128=3n+2 を解けばn=42とできますので、bnも48項目に128があり、一致してます。

いよいよanの一個おき(初項は8)にanとbnが一致していそうなので、これをcnと予想します。
cn=8,32,128,…つまり、cnは初項は8、公比は4の等比数列と予想できます。
あとは、これを証明するだけです。

i) 初項8は一致している。
ii) anのl項目とbnのm項目が一致していると仮定した時、anのl+2項目もbnのどこかに一致していることを示す。
al = bmですから、
2^l = 3m+2です。この時、
al+2
= 2^(l+2)
= 4× 2^l
= 4× (3m+2) (仮定を使った)
= 12m + 8
= 3(4m+2) +2
よってal+2 = b4m+2なので、確かに一致する項がある。
ゆえに、anのl項目とbnのm項目が一致していると仮定した時、anのl+2項目もbnのどこかに一致していることが示された。

i)ii)より、数学的帰納法からcnは初項8、anの2つおきの項からなることが求まり、cnは初項は8、公比は4の等比数列とわかったので一般項は
8×4(n-1)
=2^(2n+1)

このように、模範解答には予想して数学的帰納法というのがはっきり書いてなかったので分かりにくかったのだと思います。実際には上記のような思考過程を経ています。

 

~~~以上大久保の回答~~~

 

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しかもそれが他の問題にも通用する思考を伴った説明・解説とともに

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のです。その効果として

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