x軸とy軸で囲まれた図形のx軸周りの回転体とy軸周りの回転体の違い
～はじめに～ 回答・解説をご覧になる前の注意点！
このシリーズは、当塾の受講生からのご質問に当塾、３０名超の東大理三合格講師(理系受験生対応)や東大文系合格講師(文系受験生対応)が回答したものの中からほんの一部を皆さんにも役立てていただく企画です。例年どこかでこのシリーズを掲載しています。
当塾指導は、マンツーマンの初回指導における受験全教科の年間計画の策定で各自の状況に応じて、各自が学校で使用している、またはそれまで使用してきた問題集や参考書をできるだけ活かす形で計画を立てます。（これが最も受講生にとって効率的に実力をつけていける手段だからです）
その後、各自が使用する、その問題集や参考書についてわからない問題やわからない部分について全教科の質問回答指導、説明指導、添削指導を行っています。したがって、質問回答、添削指導をしている教材は、市販の問題集・参考書のほとんど、過去問に至っては全国のほとんどの大学の問題に及びます。
３０名超の東大理三合格講師が実際に指導に当たっているので、たった一日で数百という数の問題の質問回答がたまります
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https://www.goukaku-tensi.info/lecturer.html掲載できるのはごくごく一部ですが、上記事情から皆さんが使っている問題集や参考書であっても十分役立てていただけると思います。是非、このシリーズから一つでも何かを得ていただければと思います。
受講生の質問
x軸とy軸で囲まれた図形のx軸周りの回転体とy軸周りの回転体について
「y=cosx(0≦x≦π/2)と各軸で囲まれた図形をx軸の周りを回転させて楕円体を考え、対称性から問われている体積を求められるのではないかと思ったのですが計算しても合いませんでした。どこに問題があるのでしょうか 。」
※受講生からのご質問については、著作権上実際の問題集の問題をそのまま使用できませんので、ほとんどのご質問および回答をここに掲載するために一般化していることをあらかじめご了承ください。(実際には問題集や過去問などの具体的な問題のご質問に具体的数値や具体的状況に応じたきめ細やかな回答、解説を行っています。)
東大理三合格講師1/30名超の回答
同じではないような気がしても、計算を省略するために横着してx軸周りばかりで計算して、結果が合わないことがあったという方もいらっしゃるようです。
今回は例として、y=cosx(0≦x≦π/2)とx,y各軸で囲まれた図形をx軸周り、y軸周りで回転させることを考えてみます。
まずそれぞれを計算してみましょう。そもそも違いを納得できない方には、計算してそれぞれ異なる式、異なる値が出ることを見ていただくのが手っ取り早いです。
まず、
y=cosx(0≦x≦π/2)とx,y各軸で囲まれた図形のx軸周り
V= π∮(0→π/2) y^2 dx
= π∮(0→π/2) sin^2 x dx
また、
y=cosx(0≦x≦π/2)とx,y各軸で囲まれた図形のy軸周り
V= π∮(0→1) x^2 dy
= π∮(π/2→0) x^2 dy/dx dx
= π∮(π/2→0) x^2 (-sinx) dx (dy/dx=-sinxより)
= π∮(0→π/2) x^2 (sinx) dx
よって、
π∮(0→π/2) dxの部分は共通しているものの、被積分関数は、sin^2 xとx^2 *sinx と異なるものであることがわかります。
これが異なる理由は、
図形のx軸周りでは、y^2 をxで積分するのに対し、図形のy軸周りでは、x^2 をyで積分することにあります。
これを回転体でイメージすれば、回転体の積分における
断面積S(x)*dx(厚み)とした円柱が、それぞれの回転体で異なり、異なった図形になることがわかります。
（xy平面の平面のイメージで捉えると、これらの違いがわからなくなるので、よく理解していただきたい点です。）
同じように考えると、x軸周りの回転体とy軸周りの回転体は、（その図形がx=yに対して対象でない限り）異なるものであることがわかります。
確かに異なるものであるのは分かったが、なんとなく腑に落ちないという方もいらっしゃいました。
そのような方は積分という操作自体に曖昧にしている点がないかを確認することを優先しましょう。
多くの方は、積分する軸をとること、その軸に沿って変数を取ること、それらが、「∮(A→B) dx = xについてAからBの値までxで積分する」という数式に込められていることが意識できていないことがあるようです。
x軸周り、y軸周りという話は、もっぱら、上記で
π∮(0→1) x^2 dy
= π∮(π/2→0) x^2 (-sinx) dx (dy/dx=-sinxより)
とした、置換積分の文脈で学習するときは何も疑問に思わないことが多いものの、問題演習で自分で考えるとなると、上記の注意点のどこかで意識できていない点があるだけで難しく感じてしまうようです。
数学では、このように二つのものの違いを考えようとする姿勢は重要です。ただ単に与えられているだけの状態よりも、自分でその相違、類似に気づくことで勉強が大きく進むこともあります。
その場で気づくことができないとしても、常に疑問を持ち続けながら、適宜解消して勉強を進めていけると良いと思います。
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冒頭でもお伝えしましたが、当塾の指導では全教科の質問対応・添削指導をしており、個々の受講生の質問に対して担当の東大理三合格講師が回答したものの中のたった１つが上記の回答です。
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