数学｜立体問題のコツ | 30名超の東大理三合格講師による受験戦略・勉強法

数学の立体の体積問題のコツ｜東大理三合格講師の質問回答シリーズ

このシリーズは、当塾の基幹指導であるネット塾及びリアル塾の受講生からのご質問に当塾、東大理三合格講師や東大文一合格講師が回答したものの中からほんの一部を皆さんにも役立てていただく企画です。

当塾指導は、マンツーマンの初回指導における年間計画の策定で各自の状況に応じて、各自が学校で使用している、またはそれまで使用してきた問題集や参考書をできるだけ活かす形で計画を立てます。（これが最も受講生にとって効率的に実力をつけていける手段だからです）

その後、各自が使用する、その問題集や参考書についてわからない問題やわからない部分について全教科の質問回答指導、説明指導、添削指導を行っています。

したがって、質問回答している教材は、市販の問題集・参考書のほとんど、過去問に至っては全国のほとんどの大学の問題に及びます。

掲載できるのはごくごく一部ですが、上記事情から皆さんが使っている問題集や参考書であっても十分役立てていただけると思います。

是非、このシリーズから一つでも何かを得ていただければと思います。

それが大事です。

受講生の質問

Q.この問題がわかりません。
問題：y=x-1とy=x^2-2x-1で挟まれた部分を底面とし、x軸に垂直な断面が常に正三角形であるような立体の体積を求めよ。

当塾、東大理三合格講師安藤の回答

A.　体積の問題は、「適切な軸に沿って、その軸に垂直な平面で切る　＋　断面での面積を求めて、それを積分する」という2つの手順を踏めばOKです。この問題でも、まずは「適切な軸」を探すところから始めましょう。

「適切」というのは、後の手順が楽になるような、という意味です。つまり、断面がわかりやすかったり、面積を求めやすかったりするような軸のことです。例えば回転体の体積では、回転軸を「適切な軸」に設定すれば、断面が必ず円になり、簡単な計算で断面積を求められます。この問題での「適切な軸」は、x軸に当たります。なぜならx軸に垂直な平面で立体を切ると、断面が正三角形になって容易に面積を求められるからです。
あとはこの断面積をx軸に沿って（＝xで）積分すると体積が出てきます。