sin(π/2+θ)やcos(π-θ)の変形
～はじめに～ 回答・解説をご覧になる前の注意点！
このシリーズは、当塾の受講生からのご質問に当塾、３０名超の東大理三合格講師が回答したものの中からほんの一部を皆さんにも役立てていただく企画です。例年どこかでこのシリーズを掲載しています。
当塾指導は、マンツーマンの初回指導における受験全教科の年間計画の策定で各自の状況に応じて、各自が学校で使用している、またはそれまで使用してきた問題集や参考書をできるだけ活かす形で計画を立てます。（これが最も受講生にとって効率的に実力をつけていける手段だからです）
その後、各自が使用する、その問題集や参考書についてわからない問題やわからない部分について全教科の質問回答指導、説明指導、添削指導を行っています。したがって、質問回答、添削指導をしている教材は、市販の問題集・参考書のほとんど、過去問に至っては全国のほとんどの大学の問題に及びます。
３０名超の東大理三合格講師が実際に指導に当たっているので、たった一日で数百という数の問題の質問回答がたまります
※30名超の東大理三合格講師の実名公表はこちら↓
https://www.goukaku-tensi.info/lecturer.html掲載できるのはごくごく一部ですが、上記事情から皆さんが使っている問題集や参考書であっても十分役立てていただけると思います。是非、このシリーズから一つでも何かを得ていただければと思います。
受講生の質問
sin(π/2+θ)やcos(π-θ)の変形が覚えられません。何かいい方法はあるでしょうか？
※受講生からのご質問については、著作権上実際の問題集の問題をそのまま使用できませんので、ほとんどのご質問および回答をここに掲載するために一般化していることをあらかじめご了承ください。(実際には問題集や過去問などの具体的な問題のご質問に具体的数値や具体的状況に応じたきめ細やかな回答、解説を行っています。)
東大理三合格講師1/30名超の回答
なので、一元的に考えられる方法を習得すべきです。
大きく分けて2通りの方法があります。できれば両方を習得すべきですが、難しかったらまずは片方だけでもいいので習得しましょう。
・加法定理の利用
・単位円の利用
の2通りです。
①加法定理の利用
sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin bなどの加法定理をそのまま使います。
例えばsin(π/2+θ)であればπ/2をa,θをbと見かけて上の公式を使うと
sin(π/2+θ)=sin(π/2) cosθ +cos(π/2) sinθ=1×cosθ +0×sinθ=cosθ
となります。
cosならcosの加法定理を使いましょう。tanでも同様です。
②単位円の利用
単位円を使って考えます。
ポイントは
・θ=10°くらいで考える（45°くらいだとsinとcosの見分けがつきにくいので、なるべく極端な角度で考える）
・sinなのかcosなのか、-がつくのかつかないのか の2視点で考える
です。
実際に考えてみましょう。
θ=10°くらいで考えてみます。
下の図を見てください。sinθは結構小さく、cosθは結構大きい(1に近い)です。
このような状態です。cosθがx座標、sinθがy座標なのも確認しておきましょう。
では、sin(π/2+θ)がどうなるのかを考えてみましょう。
π/2+θということは、θをπ/2=90°回転した点になります。sin(π/2+θ)はその点のy座標になります。
図的には
となります。赤字のsin(π/2+θ)がどうなるのかを考えたいのです。
sinなのかcosなのか、-がつくのかつかないのか の2視点で考える というのがポイントなのでした。
sinなのかcosなのかについては大きさに注目します。
上の図をみるとsin(π/2+θ)は結構1に近く、大きいです（対照的にcos(π/2+θ)は小さめです）
大きめなのはsinθとcosθのどちらだったかというと、cosθのほうなのでした。
なので、cosθの形になるとわかります（符号はこの時点では不明です）
次に-がつくのかつかないかを考えます。
これは単純にsin(π/2+θ)が負なのかどうかに注目します。
上の図をみると明らかに正の場所にあります。なので、マイナスがつかないとわかります。
以上を合わせるとcosの形であり、かつマイナスがつかないので、sin(π/2+θ)=cosθ だとわかります。
同様に考えるとcos(π/2+θ)は小さめ=sinの形であり、かつ負の位置にある＝マイナスがつくので、cos(π/2+θ)=-sinθ だとわかります。
tanに関しては単位円で考えてもいいですが、tanθ=sinθ/cosθの変形をして分母と分子のそれぞれのsin,cosについて変形するのがおすすめです。
説明を読んだだけでは使えるようにはならないので、以下の表を埋めて練習してみてください。
答えは
となります。
慣れてきたら、+2π=2π回転＝1回転なので、単位円で考えると、結局元の位置に戻ることを利用して、
+3πは+(3π-2π)=+πと同じだ
といったような考えたかたもできるようになりましょう。
加法定理を使う考え方はシンプルですが多少時間がかかります
単位円を使う考え方では慣れるまでは厄介ですが、慣れたら一瞬でできます。
どちらかというとおすすめは単位円を使うほうです。
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冒頭でもお伝えしましたが、当塾の指導では全教科の質問対応・添削指導をしており、個々の受講生の質問に対して担当の東大理三合格講師が回答したものの中のたった１つが上記の回答です。
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