数学｜図形と方程式｜東大理三合格講師の解説 | 30名超の東大理三合格講師による受験戦略・勉強法

図形と方程式

～東大理三合格講師の質問回答シリーズ～

このシリーズは、当塾の基幹指導であるネット塾及びリアル塾の受講生からのご質問に当塾、東大理三合格講師や東大文一合格講師が回答したものの中からほんの一部を皆さんにも役立てていただく企画です。

当塾指導は、マンツーマンの初回指導における年間計画の策定で各自の状況に応じて、各自が学校で使用している、またはそれまで使用してきた問題集や参考書をできるだけ活かす形で計画を立てます。（これが最も受講生にとって効率的に実力をつけていける手段だからです）

その後、各自が使用する、その問題集や参考書についてわからない問題やわからない部分について全教科の質問回答指導、説明指導、添削指導を行っています。

したがって、質問回答している教材は、市販の問題集・参考書のほとんど、過去問に至っては全国のほとんどの大学の問題に及びます。

掲載できるのはごくごく一部ですが、上記事情から皆さんが使っている問題集や参考書であっても十分役立てていただけると思います。

是非、このシリーズから一つでも何かを得ていただければと思います。

本日の質問回答から何を得るべきかの着目ポイントをご覧になっていない方はこちらをまずご覧ください。読者のみなさんへの予習課題 ▶

受講生の質問

「x^2+y^2<a^2…①　を満たす任意の実数x、yに対して、|x+y|+|x-y|<b…②　が成り立つとき、正の定数a、bの満たす条件を求めよ。」という問題についてなのですが、解答の方針が立てられませんでした。

東大理三合格講師正門の回答

ポイントは「x^2+y^2<a^2…①を満たす任意の実数x,yに対して、|x+y|+|x-y|<b…②が成り立つ」という条件を座標平面上に落とし込んで考えることです。

まずは問題文を噛み砕いて考えて見ましょう。
x^2+y^2<a^2…①を満たす任意の実数x,yは座標平面上では何に対応しているかというと、x^2+y^2<a^2の内部の点全体です。

そして|x+y|+|x-y|<b…②が示す領域を図示すると下の図の様になります。

以上を合わせて考えると、問題文の条件は「①が示す円の内部の点全てが②の領域にあればいい」という条件に言い換えられます。

これをさらに言い換えると、「①の円が②の領域の中にある。」…(条件A)ということになり、これがぎりぎり成り立つのは下の図の様になるとき、つまりb/2=aとなるときであり、bがそれ以上大きくなる分には②の正方形が大きくなるだけで条件Aは成り立つので、求めるべきa,bの条件はb/2>=a、つまりb>=2aという風になります。

条件を次々に言い換えていって考えやすい条件、単純な条件にする、ということはどの問題でも最も大切な考え方の一つになります。特に方程式⇄座標の置き換えは、非常によく使う考え方なので、方程式が出てきたら座標ではどうなるのか考え、逆に座標平面でグラフが出てきたら、方程式で攻められないかと考えてみることは、常に意識するといいと思います。

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当塾指導は冒頭で述べたように、市販のすべての問題集や参考書、教科書、過去問集を問わず受講生各自が使用している教材のどんな問題にも質問回答しています。

したがって、たった一日で数百という数の問題の質問回答がたまります。しかも、それは東大理三合格講師や東大理系・文系の上位合格層講師陣の回答です。

これを今後も皆さんにおすそ分けしていきます。

何か一つでも気づきを得られれれば儲けもの、という意識を忘れずに見ていってください。
一つの視点が得意不得意を一気に変えてしまう爆発力を持っているものもあります。

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