数学｜非回転体の体積｜東大「理三」合格講師の回答 | | 東大医学部/理三講師30名超集団（株）合格の天使の受験戦略・勉強法コンテンツ

非回転体の体積

～東大理三合格講師の質問回答シリーズ～

このシリーズは、当塾の基幹指導であるネット塾及びリアル塾の受講生からのご質問に当塾、東大理三合格講師や東大文一合格講師が回答したものの中からほんの一部を皆さんにも役立てていただく企画です。

当塾指導は、マンツーマンの初回指導における年間計画の策定で各自の状況に応じて、各自が学校で使用している、またはそれまで使用してきた問題集や参考書をできるだけ活かす形で計画を立てます。（これが最も受講生にとって効率的に実力をつけていける手段だからです）

その後、各自が使用する、その問題集や参考書についてわからない問題やわからない部分について全教科の質問回答指導、説明指導、添削指導を行っています。

したがって、質問回答している教材は、市販の問題集・参考書のほとんど、過去問に至っては全国のほとんどの大学の問題に及びます。

掲載できるのはごくごく一部ですが、上記事情から皆さんが使っている問題集や参考書であっても十分役立てていただけると思います。

是非、このシリーズから一つでも何かを得ていただければと思います。

本日の質問回答から何を得るべきかの着目ポイントをご覧になっていない方はこちらをまずご覧ください。読者のみなさんへの予習課題 ▶

受講生の質問

Xyz空間において、動点P(0,0,(1-s)**2),Q(s**2,1,0)がある。変数sが|s|≦1をみたす実数の範囲を動く時、線分PQが動いてできる局面をSとし、Sと平面x=yが囲む部分の体積をVとする。Vの値を求めよ。この問題の図が知覚的に捉えられませんでした。
あと、回転体の場合は回転軸と垂直に切るのが定石ですが、非回転体の場合はどの軸に垂直に切るかは試すしかないのでしょうか？

東大理三合格講師黒木の回答

まず今回の問題を最初から説明していくのですが、sという字を用いて直線を表してこれとx=y平面との囲まれる体積を求めよとの問題です。具体的な直線の移動などは分かりませんが、わかりやすい数値s=-1,0,1などを代入してなんとなくの形だけはわからないか試してみましょう。

Sを動かしてなんとなく直線の動き方を考えるとx=yという平面が基準となっていたことが分かります。最初に問題を読んだときはx=yという珍しい切り方をしていたので一瞬ヒヤッとしますがこの平面で切っていた理由が分かりました。

ただしここからが問題で具体的な図の形は見えないので、わかりやすい平面で切って平面図形として考えようという方針に持っていきます。

どの平面で切れば良いかについては後述しますが今回の問題ではy=tという平面で切ると計算がしやすくなります。この平面でsの値を変化させていくと曲線が描けます。あとはこの平面において囲まれている部分がどこかを見つけてあげて、底の部分の面積を求め、tを動かして積分すればいいといういつもの方針になります。

では囲まれている部分がどこかという話ですが今回はx=yと囲まれている部分をそもそも考えていて、y=tで切っているのでx=tで囲まれている部分を求めればいいです。

最後に切る平面の選び方ですが、切った平面と動く直線との交点の座標が表しやすいかどうかで決めます。交点の座標をベクトルを使って表すと計算がしやすく、その計算が簡単になるような切り方を選んで上げましょう。もちろんどの平面で切っても最終的な計算は合うはずではありますが、計算の複雑さや計算量には大きな差が出ます。

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当塾指導は冒頭で述べたように、市販のすべての問題集や参考書、教科書、過去問集を問わず受講生各自が使用している教材のどんな問題にも質問回答しています。

したがって、たった一日で数百という数の問題の質問回答がたまります。しかも、それは東大理三合格講師や東大理系・文系の上位合格層講師陣の回答です。

これを今後も皆さんにおすそ分けしていきます。

何か一つでも気づきを得られれれば儲けもの、という意識を忘れずに見ていってください。
一つの視点が得意不得意を一気に変えてしまう爆発力を持っているものもあります。

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