数学｜連続した整数の積のシグマ｜東大理三講師の解説 | 30名超の東大理三合格講師による受験戦略・勉強法

連続した整数の積のシグマ

～東大理三合格講師の質問回答シリーズ～

このシリーズは、当塾の基幹指導であるネット塾及びリアル塾の受講生からのご質問に当塾、東大理三合格講師や東大文一合格講師が回答したものの中からほんの一部を皆さんにも役立てていただく企画です。

当塾指導は、マンツーマンの初回指導における年間計画の策定で各自の状況に応じて、各自が学校で使用している、またはそれまで使用してきた問題集や参考書をできるだけ活かす形で計画を立てます。（これが最も受講生にとって効率的に実力をつけていける手段だからです）

その後、各自が使用する、その問題集や参考書についてわからない問題やわからない部分について全教科の質問回答指導、説明指導、添削指導を行っています。

したがって、質問回答している教材は、市販の問題集・参考書のほとんど、過去問に至っては全国のほとんどの大学の問題に及びます。

たった一日で数百という数の問題の質問回答がたまります。しかも、それは東大理三合格講師や東大理系・文系の上位合格層講師陣の回答です。

掲載できるのはごくごく一部ですが、上記事情から皆さんが使っている問題集や参考書であっても十分役立てていただけると思います。

是非、このシリーズから一つでも何かを得ていただければと思います。

本日の質問回答から何を得るべきかの着目ポイントをご覧になっていない方はこちらをまずご覧ください。読者のみなさんへの予習課題 ▶

受講生の質問

「Σk(k+1)を求める途中でk(k+1)=1/3{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}という式が出てきたのがよくわからない」

東大理三合格講師江尻の回答

実はこのやり方はけっこう有名なので、使えたほうがいいと思います。実際、k(k+1)=k^2+kと展開してk^2のシグマとkのシグマを求めて足すより計算量は少ないので実践的に見ても優れたやり方です。

これは、シグマの中身を「１個先のやつから１個前のやつを引く」形にするという解法の１形態です。たとえば、Σ[k=1~n](1/(k+1)-1/k)という和を具体的に書き下してみると「(1/(n+1)-1/n)+(1/n-1/(n-1))+…….+(1/3-1/2)+(1/2-1/1)」となり、間が全て打ち消し合い、最初と最後の「1/(n+1)-1/1」だけ残るというやつです。

今回の変形も、「１個先のやつから１個前のやつを引く」形になっていますよね。なので答えがラクに（少ない計算で）求まるというわけです。

一般的に、いくつかの連続した整数の積（今回でいうと２つ）がシグマの中身に来ているときは、それらのなかで１番大きい数より１大きい数をつけくわえたものから１番小さい数より１小さい数を付け加えたものを引く形に変形すると、シグマの中が「１個先のやつから１個前のやつを引く」形になって、バァーっと間が消えていって最初と最後だけ残るパターンに持ち込めます。

例えば、シグマの中身が(k-1)k(k+1)(k+2)（これは連続する４つの整数の積ですよね）とかだったら、(k-1)k(k+1)(k+2)=1/5・{(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)}と変形でき、間が消えていくパターンに持ち込めます。

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当塾指導は冒頭で述べたように、市販のすべての問題集や参考書、教科書、過去問集を問わず受講生各自が使用している教材のどんな問題にも質問回答しています。

したがって、たった一日で数百という数の問題の質問回答がたまります。しかも、それは東大理三合格講師や東大理系・文系の上位合格層講師陣の回答です。

これを今後も皆さんにおすそ分けしていきます。

何か一つでも気づきを得られれれば儲けもの、という意識を忘れずに見ていってください。

一つの視点が得意不得意を一気に変えてしまう爆発力を持っているものもあります。

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