数学個別指導｜確率・場合の数の重要ポイント | 30名超の東大理三合格講師による受験戦略・勉強法

確率、場合の数の重要ポイント

～東大理三合格講師の質問回答シリーズ～

このシリーズは、当塾の基幹指導であるネット塾及びリアル塾の受講生からのご質問に当塾、東大理三合格講師や東大文一合格講師が回答したものの中からほんの一部を皆さんにも役立てていただく企画です。

当塾指導は、マンツーマンの初回指導における受験全教科の年間計画の策定で各自の状況に応じて、各自が学校で使用している、またはそれまで使用してきた問題集や参考書をできるだけ活かす形で計画を立てます。（これが最も受講生にとって効率的に実力をつけていける手段だからです）

その後、各自が使用する、その問題集や参考書についてわからない問題やわからない部分について全教科の質問回答指導、説明指導、添削指導を行っています。

したがって、質問回答している教材は、市販の問題集・参考書のほとんど、過去問に至っては全国のほとんどの大学の問題に及びます。

たった一日で数百という数の問題の質問回答がたまります。しかも、それは東大理三合格講師や東大理系・文系の上位合格層講師陣の回答です。

掲載できるのはごくごく一部ですが、上記事情から皆さんが使っている問題集や参考書であっても十分役立てていただけると思います。

是非、このシリーズから一つでも何かを得ていただければと思います。

受講生の質問

Q　「赤玉2個、白玉3個の入った袋Aと赤玉1個、白玉4個の入った袋Bからそれぞれ同時に2個ずつ取り出す。取り出した赤玉が合わせて2個以上になる確率を求めよ」という問題の模範解答で、「Aから2個、Bから1個」のような場合を考えず、1/10+6/25としている考え方がわかりません。

東大理三合格講師安藤の回答

A 確率、場合の数の最も重要なポイントのひとつはもれなく、だぶりなく数えることです。ですがこれを頭が整理された状態で実行するのはなかなか難しいことです。そこで場合分けの仕方がポイントになってきます。一度に考えるのではなく、階層構造を作るようにして、上位の階層から順番に考えてみましょう。

この問題ではまず「Aから赤玉をいくつ取り出すか」に着目しています。これが最上位の階層です。Aからの赤玉の個数としてあり得るのは0,1,2個で、このうち0個の時は絶対条件を満たさないので（Bに1個しか赤がないから）考える必要がありません。よって「Aからの赤玉」の階層での場合分けは(i)2個　(ii)1個の2通りで、これでこの階層ではもれなくだぶりなく状況をあげたことになります。
次に、(i)(ii)それぞれで「Bから赤玉をいくつ取り出すか」を考えます。ありうる個数は0か1です。(i)では、すでに赤玉が2個供給されているのでBからの赤玉が1個でも0個でも条件を満たします。(ii)ではBから赤玉を1個取り出すときだけ条件を満たします。
よって、求める確率は、(i)は「Aから2個取り出す確率」×「Bから赤玉を0個か1個取り出す確率（これは1です）」となり、(ii)は「Aから1個取り出す確率」×「Bから赤玉を1個取り出す確率」となります。この合計が答えです。

このように、条件のどこかに着目し（今回はAの個数）、まずそれだけで場合分けした後で、各場合について考えるようにするといいでしょう。はじめに着目する条件はなるべく強いもの（影響の大きいもの）の方がいいです。
(i)では、Bの取り出し方に関わらず条件を満たす、つまり「それ以上状況を考えなくていい」場合が現れました。このようなことは「(i)A2個B1個 (ii)A2個B0個(iii)A1個B1個…」のような平板な数え方では起こり得ず、順番に処理することのメリットのひとつと言えます。強い条件から考えようということの理由はここにあります。強いものを最初にした方がその後の場合分けの手順が省けることが多いのです。

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当塾指導は冒頭で述べたように、市販のすべての問題集や参考書、教科書、過去問集を問わず受講生各自が使用している教材のどんな問題にも質問回答しています。

したがって、たった一日で数百という数の問題の質問回答がたまります。しかも、それは東大理三合格講師や東大理系・文系の上位合格層講師陣の回答です。

これを今後も皆さんにおすそ分けしていきます。

何か一つでも気づきを得られれれば儲けもの、という意識を忘れずに見ていってください。

一つの視点が得意不得意を一気に変えてしまう爆発力を持っているものもあります。

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