数学|求積問題の変数の設定|東大「理三」合格講師の質問回答シリーズ(株)合格の天使

~はじめに~東大理三合格講師の質問回答シリーズとは

このシリーズは、当塾の基幹指導であるネット塾及びリアル塾の受講生からのご質問に当塾、30名超の東大理三合格講師や東大文系合格講師が回答したものの中からほんの一部を皆さんにも役立てていただく企画です。例年どこかでこのシリーズを掲載しています。

当塾指導は、マンツーマンの初回指導における受験全教科の年間計画の策定で各自の状況に応じて、各自が学校で使用している、またはそれまで使用してきた問題集や参考書をできるだけ活かす形で計画を立てます。(これが最も受講生にとって効率的に実力をつけていける手段だからです)

その後、各自が使用する、その問題集や参考書についてわからない問題やわからない部分について全教科の質問回答指導、説明指導、添削指導を行っています。したがって、質問回答している教材は、市販の問題集・参考書のほとんど、過去問に至っては全国のほとんどの大学の問題に及びます。

30名超の東大理三合格講師が実際に指導に当たっているので、たった一日で数百という数の問題の質問回答がたまります(登録だけがあるという他塾とは異なり、当塾講師陣は公式サイトに実名公表を行っており、かつ、塾の基本方針に従って実際に指導を行っている講師です。)

掲載できるのはごくごく一部ですが、上記事情から皆さんが使っている問題集や参考書であっても十分役立てていただけると思います。是非、このシリーズから一つでも何かを得ていただければと思います。

受講生からのご質問については、著作権上実際の問題集の問題を使用できない場合がございますので、一般化しているものがありますことをあらかじめご了承ください。(実際にはもっと具体的な質問であるものが多々あります)

 

受講生の質問

質問:
数IIIの求積問題で,自分で変数をおくというのがよくわかりません。どうやったら自分でできるようになりますか。

 

東大理三合格講師 安藤の回答

変数を自分で設定するというのは,たとえば「ここからここまでの距離をaとする」とか「ここの 角度をθとする」とかいう操作のことです。これは今まで自然に行ってきたはずで,その時何のために設定したのかといえば,その量(長さや角度)を何か文字で表す要求がどこかにあったからですね。求積問題でもそれは同じです。さて,面積や体積を求めるのには積分を使います。たとえば断面積を積分すると体積という意味を持った数値が得られるわけですが,どうしてこの操作で体積を求めたことになるのか説明できますか。少し考えてみてください。

積分の本質は細かく切って足し合わせることです。この切り方がポイントで,面積を出す時も体積を出すときも,軸に対して一定の向き(特に,垂直)でないといけません。 面積を例に考えてみましょう。面積を出す時は,その領域を短冊状に切って,一本一本の面積を 出したのちに,足し合わせるのでした。(この操作が,区分求積法により定義される積分に一致するわけです。)この短冊の形は,面積を出すのですから,普通長方形になるようにするのが便 利なわけです。(特に関数y=f(x)とx軸との間の領域の面積を出す際には,長方形型の短冊の高さ がそのままf(x)の値(y座標)に一致するので,中でも簡単に計算できるのです。)

なお,垂直でない切り方をすると短冊は平行四辺形になります。この面積はを出すには,横の辺 の長さをそのまま使うわけにいかないので,ひと工夫(√2でわる など)必要になるのです。普 通は軸に対し垂直になるように分割していきます。

よって,何か面積や体積を求める時には,何を軸にして(その軸に垂直な線・平面で)分割するのかということが極めて重要になってきます。積分の向きといってもいいでしょう。いずれにせよ,どういう平面で切り分け,足すのかということは任意(自分で決められる)なわけです。そしてこの軸は,積分操作においては積分変数に対応します。x軸方向のちょっと分の幅・厚みという のがdxという記号の意味なのでした(区分求積の解説を確認しましょう)。d● の部分に何の文 字を入れるのか,どの方向の長さを使うのかというのを,自分で設定するわけです。

この設定の仕方にはそれなりに定石があり,例えば回転体では回転軸と同じ向きにするしか道がありません(他には,円柱の場合には底面に並行な向き(断面が長方形になるから),対 象面を複数持つ図形ではその交わりに垂直な向き(断面に並行直線が現れるので)など)。とり あえず回転体の時だけ覚えればよく,回転軸の向きに積分変数となる文字(距離を表す変数)を 設定して(つまり,適当な点を基準にとり,その点から回転軸と並行な方向へ測った長さを文字 でおく。座標軸と同じイメージ),その軸に垂直な平面で図形を輪切りにして断面積を求め,積 分計算を行えばいい,と押さえておけば,自分でもできるようになるでしょう。

 

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冒頭でもお伝えしましたが、当塾の指導では全教科の質問対応をしており、個々の受講生の質問に対して担当の東大理三合格講師が回答したものの中のたった1つが上記の回答です。

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